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Sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado). Un ejemplo problema de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcular sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de largo que de ancho.

Para solucionar un sistema como este, existen diferentes métodos, entre los cuales están el método gráfico, método de reducción, método de sustitución, método de igualación, entre otros.

Método Gráfico

Consiste básicamente en gráficar cada ecuación en el plano cartesiano y observar en que punto se intersecta, luego las coordenadas (x,y) de esté punto nos da la solución del sistema de ecuaciones. En el caso que las gráficas no se intersecten diremos que el sistema posee infinitas soluciones.

Método de reducción

En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas. 
Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo. 
El m.c.m de los coeficientes de y, 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación (2) porque 
2*3=6, así tendremos 

Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas 
ecuaciones porque con ello se eliminan la y: 

Sustituyendo x = -2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en la (1), se tiene: 


5x + 6y = 20  (1) 
4x – 3y = -23 (2) 

 Resolver el  Sistema 
5x + 6y = 20   (1)               5x + 6y = 20 
4x – 3y = -23  (2)     ∴       8x – 6y = -46    (multiplicando toda la ecuación por 2)
                       
 5x + 6y = 20 
 8x – 6y = -46 
13x = - 26 
 x= -26/13 = -2 


Sustituyendo x = -2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en la (1), se tiene: 

5 (-2) + 6y = 20 

 -10 + 6y = 20 

 6y = 30 

 y = 5 

en conclusión tenemos que...

x = - 2 

y = 5